凸优化中局部最优解就是全局最优解吗？

是的，对于凸优化来说，局部最优就是全局最优，换句话说，极小值就是最小值。

至于为什么？这个就是数学证明了，这个要用到凸函数、凸集的定义。

我们可以用反证法来证明。已知$x_0$是个局部最优点，假设在全集$S$上存在一个点$x_*$，使得

$$f(x_*) < f(x_0).$$

因为$f(x)$是凸函数，所以对于任意的$t$

$$f(tx_*+(1-t)x_0)\leq tf(x_*) + (1-t)f(x_0)$$

注意，这个$t$是$0$到$1$之间的任意值，所以$t$可以非常接近$0$，此时$(tx_*+(1-t)x_0)$这个点就可以无限接近$x_0$，但是函数在这个点的值又比$f(x_0)$小，所以$f(x_0)$不可能是局部最小值。故假设矛盾，因此不存在这样的$x_*$。$f(x_0)$必定为最小值。

是的，这是凸优化极好的一个性质。

找到局部最优也就找到了全局最优。这让很多类梯度下降的优化算法有了大展拳脚的空间。