凸函数、凸集分别是什么意思？

凸集：

如果对于一个集合$S$中的任意两个点$A$和$B$，这两个点的连线$AB$也在$S$内，那么$S$就是一个凸集。

换句话说，凸集不能有洞，不同有任何凹陷。

凸函数：

一个函数$f$满足

（1）它的定义域是凸集

（2）对于其定义域中的任意两点$x_1$，$x_2$，对任意$0\leq \alpha \leq 1$，$f(\alpha x_1 +(1-\alpha)x_2)\leq \alpha f(x_1)+(1-\alpha)f(x_2)$，

那么这个函数$f$就是凸函数。

比如实数域上的$f(x)=x^2$就是凸函数，$f(x)=\sin x$就不是凸函数。

凸集：没有“洞”，没有凹陷

凸函数：二阶导数大于等于0